Los matemáticos armados con supercomputadoras finalmente determinaron el valor de un número complejo que antes se creía imposible de calcular.
El número, conocido como el «Número Noveno Dedekind» o D(9), es en realidad el décimo dígito de la secuencia. Cada número de Dedekind representa el número de configuraciones posibles de un tipo dado de operación lógica verdadero-falso en diferentes dimensiones espaciales. (El primer número de la secuencia es D(0), que representa cero dimensiones. Por eso, D(9), que representa nueve dimensiones, es el décimo número de la secuencia).
Los números de Dedekind aumentan exponencialmente para cada nueva dimensión, lo que hace que sea cada vez más difícil de precisar. El octavo número de Dedekind, que sigue las mismas reglas para ocho dimensiones, se calculó en 1991. Pero debido al salto en la potencia informática necesaria para calcular el noveno, algunos matemáticos consideraron imposible calcular su valor exacto.
Pero ahora, hay dos estudios no relacionados de grupos de investigación separados: el En primer lugar Enviado al servidor de preimpresión arXiv el 5 de abril y segundo Enviado al mismo servidor el 6 de abril: hice lo imposible. Los dos estudios, cada uno con una supercomputadora pero con un software diferente, produjeron exactamente el mismo número.
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Los resultados no han sido revisados por pares. Pero dado que los estudios llegan a la misma conclusión, es «100 %» seguro de que el número se descifró correctamente, como dijo el autor principal en el segundo artículo, Lennart van HertemEl matemático de la Universidad de Paderborn en Alemania y autor principal del segundo artículo le dijo a WordsSideKick.com.
Van Hirtum y sus colegas defienden su trabajo durante una una lectura en la Universidad de Paderborn el 27 de junio.
¿Qué son los números de Dedekind?
El matemático alemán Richard Dedekind describió por primera vez los números de Dedekind en el siglo XIX. Los números están asociados con problemas lógicos conocidos como «Funciones Booleanas Montónicas» (MBF).
Las funciones booleanas son un tipo de lógica que puede tomar como entrada solo uno de dos valores, 0 (falso) y 1 (verdadero), y escupir solo esos dos valores. En MBF, puede intercambiar 0 por 1 en la entrada, pero solo si permite que la salida cambie de 0 a 1, no de 1 a 0. Los números de Dedekind son la salida de MBF donde la entrada es la dimensión espacial especificada.
Este concepto puede ser muy confuso para los no deportistas. Van Hertom explicó que es posible visualizar lo que sucede usando formas para representar los números de Dedekind para cada dimensión. Por ejemplo, en la segunda dimensión, el número de Dedekind se asocia con un cuadrado, mientras que la tercera se puede representar con un cubo y la cuarta y superiores con hipercubos.
Para cada dimensión, el vértice, o los puntos, de una forma particular representan las posibles configuraciones de los MBF (vea la imagen a continuación). Para encontrar el número de Dedekind, cuenta la cantidad de veces que puedes colorear cada vértice de cada forma con uno de dos colores (en este caso, rojo y blanco), pero solo con la condición de que un color (en este caso, blanco) no sea colocado encima de otro (rojo en este caso).
Para dimensiones cero, la forma es solo un punto y D(0) = 2 porque el punto puede ser rojo o blanco. Para una dimensión, la forma es una línea con dos puntos y D(1) = 3 porque ambos puntos pueden ser del mismo color o rojo sobre blanco. Para las dos dimensiones es un cuadrado y D(2) = 6 porque ahora hay seis escenarios posibles donde no hay un punto blanco sobre un punto rojo. Y para las tres dimensiones, la forma es un cubo y el número de configuraciones posibles salta a 20, por lo que D(3) = 20.
A medida que aumenta el número de dimensiones, dijo van Hertom, la forma virtual se convierte en un hipercubo cada vez más complejo con un número exponencialmente mayor de resultados.
Los siguientes cinco valores numéricos de Dedekind son 68, 7581, 7828354, 2414682040998 y 56130437228687557907788.
El valor recién definido de D(9) es 286386577668298411128469151667598498812366.
Cálculos cada vez más complejos
Van Hirtum ha estado trabajando en D(9) durante más de tres años. Para hacer esto, creó un nuevo tipo de programa de computadora para permitir que una supercomputadora procese datos de una manera específica. Si usara un software más básico, dijo, podría llevarle hasta 100 años completar los cálculos, incluso con una sofisticada máquina de resolución de números.
Después de crear su código de computadora, el equipo de Van Hirtum pasó más de cuatro meses usando una supercomputadora en la Universidad de Lovaina en Bélgica para procesar los datos.
Sin embargo, los cálculos no tardaron tanto en completarse: Van Hertom dijo que la naturaleza del programa significaba que era propenso a errores parciales, lo que significaba que el equipo tenía que volver a trabajar constantemente.
En comparación, la computadora utilizada en 1991 para el ejercicio D(8) era menos poderosa que un teléfono inteligente moderno y completó la tarea en unas 200 horas. Una computadora portátil moderna podría haber realizado estos cálculos en menos de 10 minutos, dijo Van Hertom.
Van Hirtum cree que se necesita un salto similar en el poder de procesamiento de la computadora para calcular el décimo número de Dedekind. “Si lo estuviéramos haciendo ahora, requeriría una energía de procesamiento igual a la energía total producida por el sol”, dijo, haciendo que su cálculo sea “prácticamente imposible”.
Van Hertom dijo que los requisitos de potencia de procesamiento se pueden reducir mediante el uso de algoritmos más sofisticados.
«Pero nos ha sorprendido la complejidad de los algoritmos», agregó.
Sin embargo, otros matemáticos todavía tienen la esperanza de que D(10) eventualmente pueda calcularse, dijo Van Hirtum.
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